%\subsection{Процесс авторегрессии порядка $p.$}
Обозначение: $AP(p).$ Ранее договорились, что мат. ожидание процесса
постоянно и равно нулю. Модель имеет вид:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&X_t=\Phi_1X_{t-1}+\ldots+\Phi_pX_{t-p}+\varepsilon_t\hspace{1cm}\mbox{или же, немного иначе:}\\
&\left(1-\Phi_1X_{t-1}-\ldots-\Phi_pB^p\right)X_t=\varepsilon_t
\end{aligned}
\end{equation*}
Параметры модели:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\widehat{\Phi}=(\widehat{\Phi}_1,\ldots,\widehat{\Phi}_p)\\
\end{aligned}
\end{equation*}
Как отмечалось ранее, имеет место система Юла-Уокера:
$$
P\cdot\widehat{\Phi}=\widehat{\rho},\hspace{1cm}\mbox{откуда заключаем:}
$$
$$
\widehat{\Phi}_k=\widehat{P}^{-1}(k)\cdot\widehat{\rho}(k),\hspace{0.5cm}\widehat{\rho}(k)=
\frac{C_k}{C_0},\hspace{0.5cm}\mbox{где}\\
$$
\begin{equation*}
P=
\begin{pmatrix}
1&\rho(1)&\ldots&\rho(p)\\
&\ldots&\ldots&\\
\rho(p)&\ldots&\rho(1)&1\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Считаем $C(1)\ldots,C(p)\;\;-$ оценки автоковариации, затем получаем
$\rho(1)\ldots,\rho(p),$ затем вычисляем параметры
модели $\widehat{\Phi}.$

%\subsection{Процесс скользящего среднего порядка $q.$}
Обозначение: $CC(q).$
Как говорилось выше, процесс имеет вид:
$$
X_t=\varepsilon_t-Q_1\varepsilon_{t-1}-\ldots-Q_q\varepsilon_{t-q}=\left(1-Q_1B-\ldots-Q_qB^q
\right)\varepsilon_t
$$
Выражение для автокорреляции $\rho(k)$ в этом случае имеет вид:
\begin{gather*}
\widehat{\rho}(k)=\frac{-\widehat{Q}_k+\widehat{Q}_1\widehat{Q}_{k+1}+\ldots+\widehat{Q}_{q-k}
\widehat{Q}_k}{1+\widehat{Q}_1^2+\ldots+\widehat{Q}_q^2},\hspace{0.5cm}k=1\ldots q\\
\sigma_\varepsilon=C_0\left(1+\widehat{Q}_1^2+\ldots+\widehat{Q}_q^2\right)^{-1}
\end{gather*}
Эти уравнения решаются уже сложно, но это умеют делать пакеты.

\subsection{Процесс авторегрессия скользящего среднего порядка $(p,q).$}
Обозначение: $APCC(p,q).$
Модель в общем виде записывается как:
$$
X_t=\Phi_1X_{t-1}+\ldots+\Phi_pX_{t-p}+\varepsilon_t-Q_1\varepsilon_{t-1}-\ldots-Q_q
\varepsilon_{t-q}
$$
Для примера рассмотрим модель $APCC(1,1).$
Она имеет вид:
$$
X_t=\Phi X_{t-1}+\varepsilon_t-Q\varepsilon_{t-1}
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\widehat{\rho}(1)=\frac{(1-\widehat{\Phi}\widehat{Q})
(\widehat{\Phi}-\widehat{Q})}{1-2\widehat{\Phi}\widehat{Q}+\widehat{Q}^2}\\
&\widehat{\rho}(2)=\widehat{\Phi}\cdot\widehat{\rho}(1)\\
&\widehat{\rho}(k)=\widehat{\Phi}^{k-1}\widehat{\rho}(1),\hspace{0.5cm}k\geqslant2
\end{aligned}
\end{equation*}

Этапы:
\begin{enumerate}
    \item Оцениваем параметры $\widehat{\Phi}_1\ldots\widehat{\Phi}_p,$ используя уравнения
    Юла-Уокера.
    \item Рассматриваем процесс $X_t'=X_t-\widehat{\Phi}_1X_{t-1}-\ldots-\widehat{\Phi}_pX_{t-p}$
    Ковариации процесса: $C_0'\ldots C_q'$
    \item $\widehat{Q}_1\ldots \widehat{Q}_q$
\end{enumerate}
%Система уравнений Юла-Уокера:
%\begin{equation*}
%\left\{
%\begin{aligned}
%C_{q+1}&=\widehat{\Phi}_1C_q+\widehat{\Phi}_2C_{q-1}+\ldots+\widehat{\Phi}_pC_{q-p+1}\\
%&\ldots\\
%C_{q+p}&=\widehat{\Phi}_1C_{q+p-1}+\widehat{\Phi}_2C_{q+p-2}+\ldots+\widehat{\Phi}_pC_{q}\\
%\end{aligned}
%\right.
%\end{equation*}
%$$
%C_k'=\sum\limits_{i=0}^{p}\widehat{\Phi}_i^2C_k+\sum\limits_{i=1}^{p} \left(\widehat{\Phi}_0\widehat{\Phi}_1+\ldots+\widehat{\Phi}_{p-i}\widehat{\Phi}_p\right)\cdot \left(C_{k+i}+C_{k-i}\right)
%$$
%%Проверка: берем ряд, смоделированный ряд, вычитаем. Должны получить белый шум.

